Avant toutes explications, expliquons ce qu’est un repère.

Un repère est un outil mathématiques permettant de s’orienter dans l’espace. Il est composé d’un origine et de 3 axes.

Le choix de ces trois axes et de l’origine surtout dépendra de l’étude que l’on souhaite faire.

Plusieurs repères sont utilisés :

- le repère terrestre : repère lié à la surface de la Terre et qui dépend du système étudié.

repere-terrestre.gif

- le repère géocentrique : son origine est le centre de la Terre et les axes dirigés vers trois étoiles “fixes”.

repere.jpg

 

- le repère héliocentrique : son origine est le centre du Soleil et ces axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.

 

On distinguera de plus les repères cartésiens d’axes x, y, et z ; des repères cylindriques (r, θ, z), et des repères sphériques (ρ, θ, Φ).

 

Maintenant, définissons ce qu’est un référentiel galiléen. Plusieurs définitions existent.

Certains diront que c’est un repère en translation rectiligne uniforme, c’est à dire où il n’y a pas de variation de vitesse, de manière à vérifier la première loi de Newton.

D’autres diront que c’est un repère dans lequel le principe fondamental de la dynamique est vérifié….et d’autre noterons que l’on peut appliquer le principe fodamental de la dynamique que dans un repère galiléen.

Enfin, il est dit clairement que si un repère est en translation rectiligne uniforme par rapport à un repère galiléen, alors celui-ci est galiléen….mais quel est ce repère de base qui est dit galiléen ?

Pour répondre à cette question, il faut remonter un peu dans le temps. En effet, à l’époque de Newton, il y avait une idée d’Univers immuable, qui ne bouge pas. Et dans ce cas, par rapport à ce référentiel, on définissait le repère galiléen.

Aujourd’hui les idées de bases ont changé, mais ce référentiel galiléen perdure…

A l’échelle humaine, tous ces référentiels sont assimilés à des référentiels galiléens….sur de petits temps…car si le temps de l’étude est trop important, on se rend vite compte que le mouvement est “circulaire”…eh oui, tout tourne dans le ciel.

Au fait, en mécanique on parle de “principe” : le PFS, le PFD et le PTV en mécanique des solides. Il faut savoir qu’un principe n’est pas un théorème, mais une observation interprétée et vrai tant que l’on a pas prouvé le contraire. Aujourd’hui le contraire est vérifié, mais la différence entre le modèle exacte (relativité générale) et le modèle de Newton est si faible à l’échelle humaine que l’on préfère garder ces principes.

Bonne lecture.

Dynamique

Principe fondamental de la dynamique

Il existe au moins un repère (a) dit repère absolu, et une chronologie (manière de mesurer le temps), dite chronologie absolue, tels que, pour tout système matériel (D/t), à chaque instant de son existence, le torseur représentant l’ensemble des actions mécaniques extérieures agissant sur (D/t) est égal au torseur dynamique de (D/t) par rapport au repère (a).

repère galiléen

définition

On appelle repère galiléen (g) tout repère par rapport auquel le vecteur accélération d’un point est le même que celui qu’il aurait par rapport au repère absolu.

Théorème

un repère est galiléen si et seulement si il a un mouvement de translation uniforme par rapport au repère absolu.

Démonstration

Elle découle de la composition des accélérations :

Si on veut, quel que soit (t) et quel que soit P  il faut, dans l’équation précédente, que , et  donc que le repère (g) soit en mouvement de translation uniforme par rapport à (a).

Remarque

Un repère véritablement galiléen n’existe pas dans l’univers, (même les fameux repères centrés sur trois étoiles “ fixes ” ne sont que des approximations de repères galiléens). Cependant, différents repères approximativement galiléens peuvent être utilisés, suivant la précision souhaitée dans les calculs, et les quantités d’accélération mises en jeu. Dans le cas général des systèmes utilisés industriellement (sauf pour les applications liées à l’espace) un repère lié à la terre sera une très bonne approximation d’un repère galiléen.

Retour sur le principe fondamental de la dynamique

Puisque les quantités d’accélération sont les mêmes dans le repère absolu et dans un repère galiléen, nous pouvons écrire :
 

torseur dynamique d’un système mécanique D par rapport à g

définition

les éléments du torseur dynamique instantané d’un ensemble D par rapport à g (galiléen) en un point quelconque (Q) sont :

Remarques :
Le vecteur  est appelé vecteur des quantités d’accélération instantané du point P, affecté de la masse dmP Unité : le Newton (N)

Le moment dynamiques par rapport au point Q est la somme des moments, par rapport au point Q des quantités d’accélération de tous les points de D. Unité : le mètre newton (m.N)

Le torseur dynamique s’appelle aussi torseur des quantités d’accélération

remarque sur le calcul du torseur dynamique

Pour calculer les vecteurs sommes et moments du torseurs défini au 8.2 il est plus efficace de séparer le système matériel D en une somme de solides Si, et d’utiliser la relation suivante :

torseur dynamique d’un solide (S) par rapport à g

Calcul de la somme dynamique instantanée de (S) par rapport à g

Calculons

Soit Og l’origine du repère galiléen. Nous avons défini, en géométrie des masses, le moment statique de S par rapport à un point, et démontré la relation suivante :

En dérivant à gauche et à droite dans l’équation

En admettant que la dérivée d’une intégrale est égale à l’intégrale de la dérivée1 :

donc.

Dérivons à nouveau à droite et à gauche :

or 

nous venons donc de démontrer que .

Calcul du moment dynamique instantané de (S) par rapport à Q et par rapport à

Pour déterminer le torseur dynamique, il nous reste à calculer le moment dynamique

.

Pour effectuer ce calcul, il nous faut faire intervenir le moment cinétique et le torseur cinétique. Nous reviendrons donc sur le calcul du moment dynamique après avoir défini le torseur cinétique.

torseur cinétique d’un solide (S) par rapport à g

Définition :

Quantité de mouvement

Le vecteur  est appelé “ vecteur quantité de mouvement instantané du point P affecté de la masse dmp par rapport au repère galiléen g ”.

Torseur cinétique

Le torseur représentant l’ensemble des quantités de mouvement de tous les points d’un solide (S) est appelé “ torseur cinétique du solide (S) par rapport au repère galiléen g ”. Réduit en un point Q il est composé de :

La somme cinétique, est la somme des quantité de mouvement de tous les points de (S). Elle est égale à 

Le moment cinétique . Ce vecteur est appelé “ moment cinétique par rapport au point Q instantané du point P affecté de la masse dmp par rapport au repère galiléen g ”.

Calcul du moment dynamique en fonction du moment cinétique

Dérivons la relation définissant le moment cinétique :

Dans le second terme, nous reconnaissons 

Il nous reste à calculer la première intégrale.

Remarquons que : . En dérivant cette expression :

Q point quelconque Îou Ï au solide (S)

Remplaçons dans la première intégrale :

Finalement, nous trouvons :

donc

Points privilégiés pour le calcul du moment dynamique

Si, au lieu de choisir le point Q vraiment quelconque, il est choisi de manière réfléchie en un point C particulier, les calculs se simplient.

Le point C peut être :

Un point de (S), fixe dans le repère galiléen (g). :
Dans le cas général, 
Si Q=C point fixe de (S) par rapport a g : 

et

Le centre d’inertie GS du solide (S), si le solide n’a pas de point fixe par rapport à g :
Dans le cas général, 

Si Q=GS centre d’inertie de (S) : 

et

Nous verrons dans les pages qui suivent que ces deux points particulier simplifient aussi le calcul du moment cinétique 

Calcul des moments cinétiques

Théorème

Le moment cinétique du solide (S) par rapport à un point Q quelconque et par rapport à un repère galiléen g dont la définition est : 

peut être calculé à partir de la relation générale :

Démonstration

Par définition 

Appliquons la relation de cinématique :  entre les points P et OS :

Posons et 

Soit

Calcul de 
La vitesse du point OS est indépendante de P.

Le centre de masse GS est tel que 

L’intégrale devient : 
Calcul de 
Si on écrit : , l’intégrale  peut être divisée en deux intégrales :

Posons et 

Soit

Calcul de 

ne dépend pas de P (il peut donc être sorti de l’intégrale),

ne dépend pas de P

Calcul de 
Utilisons la relation du double produit vectoriel : 

Appliquons la au double produit vectoriel contenu dans le signe d’intégration :

Posons et 

Séparons en de multiples intégrales, que nous ordonnons par rapport aux vecteurs de base  uis par rapport aux composantes (p, q, r) du vecteur rotation (notons que p, q, r les composantes du vecteur rotation ne dépendent pas du point P donc peuvent être sortis des intégrales).

Remarquons que les intégrales à effectuer sont justement celles que nous avons définies en géométrie des masses, ce sont les moments et produits d’inertie de (S) par rapport à un point OS