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1.1 Lois de composition interne

Défnition Une loi de composition interne dans $ E$ associe à toute paire $ (x, y) in Etimes E$ l'élément $ xstar x in E$.

Exemples.
(i)   Si $ E={bf N}$, alors l'addition $ x*y=x+y$ est une loi de composition interne dans $ {bf N}$.
(ii)   Soit $ E={bf Z}$, alors la multiplication $ x*y=xy$ est une loi de composition interne dans $ {bf Z}$.
(iii)   Soit $ E={bf N}$, alors $ x*y=2x-y$ n'est pas une loi de composition interne sur $ E$ car $ 1*3 = 2-3 = -1 notin {bf N}$.
(iv)   Si $ E={bf N}$ ou $ {bf Z}$, $ x*y=frac{x}{y}$ n'est pas une loi de composition interne sur $ E$ car $ 2*3= frac{2}{3}notin E$.
(v)  Soient $ E$ un ensemble non vide et $ {cal F}(E, E)$ l'ensemble des applications de $ E$ dans $ E$; alors $ fcirc g$ est une loi de composition interne dans $ {cal F}(E, E)$.

Remarques.  Pour définir une loi de composition interne dans $ E$, il est important de noter que:

1. pour toute paire d'éléments $ (x, y) in E$, $ x star y$ doit être bien défini et
2. $ x star y$ doit être un élément de $ E$ pour tous $ x, y in E$.

Il existe un certain nombre de propriétés qu'une loi de composition interne peut vérifier ou pas.

Défnition Soit $ E$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne notée $ *$; on dit que la loi $ *$ est associative si, quels que soient $ x$, $ y$ et $ z$ dans $ E$, on a

 

$displaystyle x*(y*z) = (x*y)*z. $

 

Exemples.

(i)   L'addition est associative dans $ {bf N}$ car $ (x + y) + z =x + (y +z) $, pour tous t $ x$, $ y$ et $ z$ dans $ {bf N}$.
(ii) La multiplication est associative dans $ {bf Z}$ car $ (xy)z =x(yz) $, quels que soient $ x$, $ y$ et $ z$ dans $ {bf Z}$.
(iii)   La soustraction n'est pas associative dans $ {bf Z}$; en effet, on a $ (3-1) - 2 =0$ alors que $ 3 -(1-2)=4$.
(iv)   a composition des applications $ circ$ est associative; en effet, pour tous $ f, g, h in {cal F}(E , E)$, on a

 

$displaystyle (fcirc g)circ h = fcirc (gcirc h). $

 

Remarque : Si la loi $ *$ est associative, l'ordre de regroupement des éléments s'affecte pas la valeur obtenue; ainsi alors pour tous éléments $ x_1, ldots, x_{n-1}, x_n$ de $ E$, on a
$displaystyle x_{1}*ldots *x_{n-1}*x_{n} = (x_{1}*ldots*x_{n-1})*x_{n}. $
  • Si $ *$ est l'addition, $ displaystyle mathstrut x_{1} + ldots + x_{n} =sum^{n}_{i=1}x_{i} $ est la somme des $ x_{i}$.
  • Si $ *$ est la multiplication, $ displaystyle mathstrut x_{1} cdot ldots cdot x_{n} = prod_{i=1}^{n} x_{i} $ est le produit des $ x_{i}.$
Défnition Soit $ E$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne notée $ *$; on dit que la loi $ *$ commutative si on a

 

$displaystyle x*y=y*x $

 

quels que soient $ x$ et $ y$ dans $ E$. Ainsi la loi $ *$ est commutative si l'ordre de composition des éléments s'affecte pas la valeur obtenue.

Exemples.
(i)   L'addition est commutative dans $ {bf N}$ car $ x + y = y +x$, quels que soient $ x$ et $ y$ dans $ {bf N}$.
(ii)   La multiplication est associative dans $ {bf Z}$ car $ xy = yx$, quels que soient $ x$ et $ y$ dans $ {bf Z}$.
(iii) La soustraction n'est pas commutative dans $ {bf Z}$; en effet, on a $ 3-1=2$ alors que $ 1-3=-2$.
(iv)   La composition des applications $ circ$ n'est pas commutative dans $ {cal F}(E, E)$.

Définition Soit $ E$ un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne, notée $ *$. On dit que $ e$ est un élément neutre de $ G$ si pour tout $ x in E$,

 

$displaystyle e*x = x*e = x. $

 

L'élément neutre $ e$ de $ E$ laisse invariant tout élément de $ E$ par la loi de composition interne.

Exemples

(i)   L'addition dans $ {{bf N}}$ admet 0 comme élément neutre; en effet $ 0+x=x=0+ x$ pour tout $ x in {bf N}$.
(ii)  La multiplication dans $ {bf Z}$ admet $ 1$ comme élément neutre; en effet pour tout $ 1x=x=x1$ $ x in {bf Z}$.
(iii)  La soustraction dans $ {bf Z}$ n'admet pas d'élément neutre; en effet, s'il existe $ e in {bf Z}$ tel que , alors on au$ e-x=x$rait $ e=2x$. Or aucun élément $ e$ de $ {bf Z}$ ne peut remplir cette condition à la fois pour tous les éléments $ x$ de $ {bf Z}$.
(iv)  Si $ E neq emptyset $, Id$ _E$ définie pour tout $ x in E$ par Id$ _E(x)= x$ément neutre de $ ({cal F}(E,E), circ)$. On vérifie que $ fcirc$   Id$ _E=$   Id$ _E circ f= f$, pour tout $ f in {cal F}(E,E)$.

Défnition Soient $ E$ muni d'une loi de composition interne $ *$ d'élément neutre $ e$ et $ x$ un élément de $ E$. On appelle symétrique (ou inverse) de $ x$, l'élément $ x'$ qui vérifie

 

$displaystyle x*x'=e= x*'x $

 

Remarques :
  • Si la loi $ *$ est l'addition $ +$, le symétrique de $ x in E$ est noté $ -x$ est l'opposé de $ x$; dans ce cas, l'élément neutre $ e$ est appelé élément zéro et noté 0.
  • Si la loi $ *$ est la multiplication, le symétrique de $ x in E$ est noté $ x^{-1}$ est l'inverse de $ x$; dans ce cas, l'élément neutre $ e$ est appelé élément unité et noté $ 1$.
Exemples
(i)  L'addition dans $ {bf Z}$ admet 0 comme élément neutre; le symétrique de tout élément $ x in {bf Z}$ est $ -x$; en effet, on a $ x + (-x) = x - x = 0$.
(ii)  La multiplication dans $ {bf Z}$ admet $ 1$ comme élément neutre; les seuls éléments inversibles de $ {bf Z}$ pour la multiplication sont $ 1$ et
(iii) Soient $ E neq emptyset $ etl'ensemble des applications $ ({cal F}(E,E), circ)$, d'élément neutre Id$ _E$ définie pour tout $ x in E$ par Id$ _E(x)= x$. Les éléments inversibles sont les applications bijectives de $ E$ dans $ E$.
par abdou jaddi

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